个推推送，产品SDK常见问题检查，7、Taylor公式(泰勒公式)通俗+本质详解

Taylor公式是微积分中重要的一个工具，它是用多项式逼近函数的方法，将任意可导函数在某一点的函数值和导数值表示成该点的函数值和导数值的和，具有广泛的应用。本文将从通俗易懂和本质解释两个方面详细介绍Taylor公式。

一、通俗易懂

我们先来看一个例子：假设我们要用一根切线来近似表示$f(x)=x^2$在$x=1$处的函数值，那么我们画出函数图像，同时在$(1,1)$处画出切线，如下图所示。

显然，当$x$趋近于$1$时，$f(x)$和$y=x$之间的距离越来越小，$\Delta x$和$\Delta y$之间的差距也变小，因此当我们让$\Delta x$趋近于$0$时，$\Delta y$也趋近于$0$，切线方程可以表示为：

$$y-1=f'(1)(x-1)$$

由于$f(x)=x^2$，因此$f'(x)=2x$；当$x=1$时，$f'(1)=2$，因此切线方程可以表示为：

$$y-1=2(x-1)$$

可以看出，$f(x)$在$x=1$处的函数值可以近似表示为$y=x+1$，这就是一个一阶的近似。那如果我们希望得到更精确的近似呢？我们可以用更高阶的多项式来近似。

假设我们想用一个二次多项式来近似表示$x^2$在$x=1$处的函数值，那么切线方程就不再是一条直线了，而是一个二次曲线，如下图所示。

现在我们需要解决的问题是如何计算出这个二次曲线的方程。我们可以假设该曲线的方程是$y=a_0+a_1(x-1)+a_2(x-1)^2$，其中$a_0$、$a_1$和$a_2$都是常数。显然该曲线应该经过$(1,1)$，因此有$a_0=1$；同时该曲线的斜率在$x=1$处应该与$x^2$的斜率相等，因此有$a_1=2$。接下来我们需要解决$a_2$的值，由于我们是希望用二次多项式来近似表示$x^2$，因此我们希望它们在$x=1$两边的误差尽可能小。那么我们可以用$f(x)-g(x)$的平方和来衡量它们之间的误差，即：

$$(x^2-(1+2(x-1)+a_2(x-1)^2))^2$$

将它展开并求导，得到：

$$f'(x)=4(x-1)(x^2-(1+2(x-1)+a_2(x-1)^2))$$

令$f'(1)=0$，即可求得$a_2=1$，因此，我们得到了用二次多项式来近似表示$x^2$在$x=1$处的函数值的方程：

$$y=1+2(x-1)+(x-1)^2$$

这样，我们就得到了一个二阶的近似。同样，我们也可以用更高阶的多项式来进行逼近，得到更精确的近似结果。

以上就是使用切线来逼近函数的方法，这就是Taylor公式的基本思想。通过多项式逼近，用一个函数在某一点的函数值和导数值表示成该点的函数值和导数值的和，以此来逼近原函数。在Taylor公式中，$f(x)$在$x=a$处展开成$n$阶多项式的一般形式可以表示为：

$$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)$$

其中，$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在$x=a$处的$n$阶导数，$R_n(x)$为余项。

二、本质解释

在上面的例子中，我们使用切线来逼近函数，以求得更精确的函数近似值。但实际上，这种方法的应用范围非常有限，因为只有在$x=a$点处的函数值和导数值比较容易获得的情况下才能使用这种方法。而对于一般的函数，我们需要更加通用的方法来逼近它的函数值。

对于任意实数$x$，我们可以将$f(x)$在$x=a$处某一个适当的多项式$T_n(x)$进行展开，这个多项式中包含了$f(x)$在$x=a$处的$n$次导数信息。也就是说，我们将$f(x)$在$x=a$处的函数值和导数值表示成该点的函数值和导数值的和，以此来逼近原函数。因为这个多项式包含了$f(x)$在$x=a$处的$n$次导数信息，因此，若$n$越大，则$T_n(x)$越接近$f(x)$，即用$T_n(x)$逼近$f(x)$的精度越高。

但是，这种多项式逼近的方法有其局限性。当我们让$n$趋于无穷大时，$T_n(x)$虽然可以逼近$f(x)$，但是余项$R_n(x)$并不一定收敛于$0$。因此，我们需要引入余项的概念。

余项是指原函数$f(x)$和它的$n$阶Taylor多项式$T_n(x)$之间的差距，即$R_n(x)=f(x)-T_n(x)$。当$n$趋于无穷大时，$R_n(x)$收敛于$0$，也就是说，$T_n(x)$可以逼近$f(x)$至任意精度，这就是Taylor公式的本质。

综上所述，Taylor公式是用多项式逼近函数的方法，将任意可导函数在某一点的函数值和导数值表示成该点的函数值和导数值的和，并引入余项的概念来描述多项式逼近的精度，具有广泛的应用。